Vectorial ITC : octubre 2021

lunes, 18 de octubre de 2021

Unidad 2. Tangente horizontal y vertical de coordenadas polares.

Conceptos.

Coordenadas polares.

Los ejes polares o también conocidos como métodos polares son un procedimiento de coordenadas bidimensional en el que cada espacio del plano se establece por un recorrido y un ángulo. Este sistema es considerablemente manejado en física y trigonometría. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana y fue usado por los escritores italianos del siglo XVIII.

Para explicar de manera más precisa este tema, como método de referencia se toma: (a) un punto O del plano, al que se llama origen o polo; y (b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, conocida como eje polar (semejante al eje x del método cartesiano). Con este método de referencia y un mecanismo de medida métrica (para poder determinar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano pertenece a un par regulado (r, θ) donde r es el recorrido de P al principio y θ es el ángulo desarrollado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ asciende en sentido antihorario y decrece en sentido horario. El recorrido r (r ≥ 0) se conoce como la coordenada radial o radio vector, mientras que el ángulo es la coordenada angular o ángulo polar.

Por otra parte, en el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indeterminado. Se dice que en ocasiones se adopta la convención de personificar el origen por (0,0º).

Un punto muy significativo en este tópico, es que las coordenadas polares son de dos dimensiones y por lo tanto se pueden utilizar sólo cuando posiciones de los puntos se localizan en un único plano de dos superficies. Ellos son los más adecuados en cualquier contexto donde el fenómeno estimado es básicamente unido a la dirección y extensión de un punto central.

Recta tangente.

La recta tangente es aquella recta que presenta un único punto en común con una curva, es decir, el punto de tangencia, siendo este el punto que genera la pendiente de la curva.

Pendiente en forma polar

Si $f$ es una función diferenciable (o derivable) de θ, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $r=f(\theta)$ en el punto (r, θ) es

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{f(\theta) \cos{\theta} + {f}^{'} (\theta) \sin{\theta}}{-f(\theta) \sin{\theta} + {f}^{'} (\theta) \cos{\theta}}$

siempre que $\displaystyle \frac{dx}{d\theta} \ne 0$ en (r, θ).

De acuerdo a lo anterior, se tienen las siguientes consideraciones:

Las soluciones $\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 0$ brinda una tangente horizontal, siempre que $\displaystyle \frac{dx}{d\theta} \ne 0$ .
Las soluciones $\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = 0$ brinda una tangente vertical, siempre que $\displaystyle \frac{dy}{d\theta} \ne 0$ .
Si $\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 0$ y $\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = 0$ son simultáneamente no se puede concluir respecto a las rectas tangentes.

Rectas tangentes en el polo

Si f(α)=0 y f'(α) $\ne$ 0, entonces la recta $\theta = \alpha$ es tangente a la gráfica de $r = f(\alpha)$ en el polo.

Ejemplo. Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales de la siguiente ecuación $r = 2(1 - \cos{\theta})$ .
Solución. Utilizando $x=r \cos{\theta}$ y sustituyéndolo en la ecuación del problema
$x = r \cos{\theta}$
$x = 2(1 - \cos{\theta})(\cos{\theta})$
$x = 2(\cos{\theta} - {\cos}^{2}{\theta})$
Derivándolo con respecto a θ
$\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} [2(\cos{\theta} - {\cos}^{2}{\theta})]$
$\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = 2[-\sin{\theta} - 2 \cos{\theta}(-\sin{\theta})]$
$\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = 2(-\sin{\theta} + 2 \sin{\theta} \cos{\theta})$
$\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = - 2 \sin{\theta} + 4 \sin{\theta} \cos{\theta}$
Ahora, haciendo que dx/dθ=0, se despeja el parámetro θ
$\displaystyle \frac{dx}{d\theta} = -2 \sin{\theta} + 4 \sin{\theta} \cos{\theta}$
$0 = -2 \sin{\theta} + 4 \sin{\theta} \cos{\theta}$
$-2 \sin{\theta} + 4 \sin{\theta} \cos{\theta} = 0$
$- \sin{\theta} + 2 \sin{\theta} \cos{\theta} = 0$
$\sin{\theta}(-1 + 2 \cos{\theta}) = 0$
Eligiendo el primer término $\sin{\theta}$ , se tiene lo siguiente:
$\sin{\theta}= 0$
$\theta= \arcsin{(0)}$
Como existen dos valores de θ
$\theta= 0$ y $\theta = \pi$
Cuando $\theta = 0$ ,
$r = 2(1 - \cos{\theta})$
$r = 2(1 - \cos{0}) = 2(1 - 1)$
$r = 0$
Cuando $\theta = \pi$ ,
$r = 2(1 - \cos{\theta})$
$r = 2(1 - \cos{\pi}) = 2[1 - (- 1)]$
$r = 4$
Los primeros puntos verticales son $(0,0)$ y $(4,\pi)$ . Eligiendo el segundo término $-1 + 2 \cos{\theta}$ , se tiene lo siguiente:
$-1 + 2 \cos{\theta} = 0$
$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{1}{2}$
$\displaystyle \theta = \arccos{(\frac{1}{2})}$
Por lo que existen dos valores de θ y son
$\displaystyle \theta = \frac{1}{3}\pi$ y    $\displaystyle \theta = \frac{5}{3} \pi$
Cuando $\displaystyle \theta =\frac{ \pi}{3}$ , se sustituye en la ecuación del problema
$r = 2(1 - \cos{\theta})$
$\displaystyle r = 2(1 - \cos{\frac{1}{3} \pi})$
$\displaystyle r = 2(1 - \frac{1}{2}) = 1$
$r = 1$
Cuando $\displaystyle \theta = \frac{5}{3}\pi$ , se tiene que
$r = 2(1 - \cos{\theta})$
$\displaystyle r = 2(1 - \cos{\frac{5}{3}\pi)}$
$\displaystyle r = 2(1 - \frac{1}{2}) = 1$
$r = 1$
Por lo tanto, los puntos verticales son $\displaystyle (1, \frac{1}{3} \pi)$ y $\displaystyle (1, \frac{5}{3}\pi)$ . Utilizando $y=r \sin{\theta}$ y sustituyéndolo en la ecuación del problema
$y = r \sin{\theta}$
$y = 2(1 - \cos{\theta})(\sin{\theta})$
$y = 2(\sin{\theta} - \sin{\theta} \cos{\theta})$
$y = 2 \sin{\theta} - 2 \sin{\theta} \cos{\theta}$
Derivándolo con respecto a θ
$\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (2 \sin{\theta} - 2 \sin{\theta} \cos{\theta})$
$\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 2 \cos{\theta} - 2 \sin{\theta} (- \sin{\theta}) - 2(\cos{\theta})(\cos{\theta})$
$\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 2 \cos{\theta} + 2 {\sin}^{2}{\theta} - 2 {\cos}^{2}{\theta}$
Ahora, haciendo que dy/dθ=0, se despeja el parámetro θ
$\displaystyle \frac{dy}{d\theta} = 2 \cos{\theta} + 2 {\sin}^{2}{\theta} - 2 {\cos}^{2}{\theta}$
$0 = 2 \cos{\theta} + 2 {\sin}^{2}{\theta} - 2{\cos}^{2}{\theta}$
$2 \cos{\theta} + 2 {\sin}^{2}{\theta} - 2 {\cos}^{2}{\theta} = 0$
$2(\cos{\theta} + {\sin}^{2}{\theta} - {\cos}^{2}{\theta}) = 0$
$\displaystyle \cos{\theta} + {\sin}^{2}{\theta} - {\cos}^{2}{\theta} = \frac{0}{2}$
$\cos{\theta} + {\sin}^{2}{\theta} - {\cos}^{2}{\theta} = 0$
Recordando la identidad trigonométrica
${\sin}^{2}{\theta} = 1 - {\cos}^{2}{\theta}$
Entonces, sustituyendo lo anterior
$\cos{\theta} + {\sin}^{2}{\theta} - {\cos}^{2}{\theta} = 0$
$\cos{\theta} + 1 - {\cos}^{2}{\theta} - {\cos}^{2}{\theta} = 0$
$-2 {\cos}^{2}{\theta} + \cos{\theta} + 1 = 0$
Para resolverlo, se usa fórmula general donde los coeficientes de esta ecuación son: a=-2, b=1, c=1.
$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{-(1) \pm \sqrt{{(1)}^{2} - 4(-2)(1)}}{2(-2)}$
$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{-4}$
$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{-4} = \frac{-1 \pm 3}{-4}$
Tomando la parte positiva
$\displaystyle \cos{{\theta}_{1}} = \frac{-1 + 3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$
$\displaystyle {\theta}_{1} = \arccos{(-\frac{1}{2})}$
$\displaystyle {\theta}_{1} = \frac{2}{3}\pi$ y   $\displaystyle{\theta}_{1} = \frac{4}{3}\pi$
Cuando $\displaystyle \theta = \frac{2}{3}\pi$ y sustituyéndolo en la ecuación del problema
$r = 2(1 - \cos{\theta})$
$\displaystyle r = 2(1 - \cos{\frac{2}{3}\pi})$
$\displaystyle r = 2(1 + \frac{1}{2})$
$\displaystyle r = 2(\frac{3}{2})$
$r = 3$
Cuando $\displaystyle \theta = \frac{4}{3} \pi$ y sustituyéndolo en la ecuación del problema
$r = 2(1 - \cos{\theta})$
$\displaystyle r = 2(1 - \cos{\frac{4}{3}\pi})$
$\displaystyle r = 2(1 + \frac{1}{2})$
$r = 2(\frac{3}{2})$
$r = 3$
Luego, tomando la parte negativa
$\displaystyle \cos{{\theta}_{2}} = \frac{-1-3}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$
${\theta}_{2} = \arccos{(1)}$
${\theta}_{2} = 0$ y   ${\theta}_{2} = 2\pi$
Cuando θ=0 y sustituyéndolo en la ecuación del problema
$r = 2(1 - \cos{\theta})$
$r = 2(1 - \cos{0}) = 2(1 - 1) = 2(0)$
$r = 0$
Cuando θ=2π y sustituyéndolo en la ecuación del problema
$r=2(1 - \cos{\theta})$
$r = 2(1 - \cos{2\pi}) = 2(1 - 1) = 2(0)$
$r = 0$
Por lo tanto, los puntos horizontales son $(0,0)$ , $\displaystyle \left(3, \frac{2}{3}\pi \right)$ y $\displaystyle \left(3, \frac{4}{3}\pi \right)$

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