Vectorial ITC : pendientes

Conceptos.

Gráficas: la gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función. Más formalmente dada una función:

{\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}

el gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

Pendiente: La pendiente de una recta es un importante concepto geométrico, el cual podemos interpretar como una medida de la inclinación de una recta cuando la ubicamos en un par de ejes coordenados (x – y). Representada por la letra m en la ecuación y = mx + b, indica la cantidad en que se incrementa o disminuye el valor de la variable y, cuando la x aumenta una unidad. El incremento se presenta cuando el valor de m es positivo y la disminución en el caso contrario. Si la pendiente tiene valor cero, la recta es horizontal, es decir, ni se incrementa ni disminuye.

Concavidad: En geometría la concavidad de una curva o de una superficie es la parte que se asemeja a la zona interior de una circunferencia o de una esfera, es decir, que tiene su parte hundida dirigida al observador. Es el concepto complementario al de convexidad.

Ejercicio: Hallar la pendiente y concavidad mediante las siguientes ecuaciones paramétricas $\displaystyle x = \sqrt{t}$ y $\displaystyle y = \frac{1}{4} (t^2 - 4)$ para $t \ge 0$ y en el punto $(2,3)$

Solución. Primero se calcula el valor de $t$ por medio de las dos ecuaciones brindadas por el problema. De la ecuación $x$ , se despeja $t$

$\displaystyle x = \sqrt{t}$

$t = x^2$

Cuando $x=2$ se tiene un valor de $t$ y es

$t = x^2$

$t = 2^2 = 4$

De la ecuación $y$ , también se despeja $t$

$\displaystyle y = \frac{1}{4} (t^2 - 4)$

$4y = t^2 - 4$

$t^2 - 4 = 4y$

$\displaystyle t = \sqrt{4y + 4}$

Cuando $y=3$ se tiene un valor de $t$ y es

$t = \sqrt{4(3) + 4}$

$t = \sqrt{12+4}$

$t = \sqrt{16} = 4$

Derivando la función $x$ con respecto a al parámetro $t$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{1}{4} (t^2 - 4)]$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{4} (2t)$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} t = \frac{t}{2}$

También se deriva la función $y$ con respecto a al parámetro $t$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (\sqrt{t})$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$

Tomando la fórmula de la forma paramétrica de la primera derivada, se sustituyen los resultados obtenidos anteriormente

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{t}{2}}{\frac{1}{2\sqrt{t}}} = \frac{t(2\sqrt{t})}{(2)(1)}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = t\sqrt{t} = t^1 {t}^{\frac{1}{2}} = {t}^{(1 + \frac{1}{2})}$

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = {t}^{\frac{3}{2}}$

Para obtener el valor de la pendiente tangente se toma el valor de $t$ obtenido anteriormente y se reemplaza en el resultado de la derivada

$\displaystyle {m}_{tan} = {\frac{dy}{dx}}_{t=4)}$

$\displaystyle {m}_{tan} = {4}^{\frac{3}{2}}$

${m}_{tan} = 8$

Para obtener la concavidad, se calcula la segunda derivada del resultado obtenido en la primera derivada

$\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt} [\frac{dy}{dx}]}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{d}{dt} [{t}^{\frac{3}{2}}]}{\frac{d}{dt} [\sqrt{t}]}$