Vectorial ITC : UNIDAD 2. Curvas planas

Curvas planas.

Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una función real de una variable real es una curva plan.

Una curva geométrica mente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, es decir, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo. Sin embargo, utilizando la definición matemática, una línea recta es un caso.

Curva plana

Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones x=f(t) y y=g(t) se les llama ecuaciones paramétricas y a “t” se le llama el parámetro. Al conjunto de puntos (x,y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama gráfica de las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, junta, es a lo que lo nombran como curva plana, que se denota por C.

Curva suave

Una curva C representa por x=f(t) y y=g(t) en un intervalo 𝐼 se dice que es suave si f´ y g´ son continuas en I y no simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.

Trazado de una curva

Como un ejemplo, se tiene que realizar el trazo para la siguiente curva

$\displaystyle x = {t}^{2} - 4 \quad \text{y} \quad y = \frac{t}{2} \quad ; \quad -2 \le t \le 3$

Haciendo la tabulación mediante las ecuaciones paramétricas que brinda el problema, se obtienen los resultados plasmados en una tabla:

Eliminación de un parámetro

Para eliminar un parámetro se tienen los siguientes pasos:

Observar y analizar las ecuaciones paramétricas.
Despejar “t” de una de las ecuaciones.
Sustituir en la otra ecuación.
El resultado final será una ecuación rectangular.

Problema resuelto: Eliminando un parámetro

Problema 1. Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro

$\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{t+1}} \quad y \quad y = \frac{t}{t+1} \quad , \quad t > -1$

Solución. De la ecuación $x$ , se tiene que

$\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{t+1}} = \sqrt{\frac{1}{t+1}}$

Despejando $t$ , resulta que

$\displaystyle {x}^{2} = \frac{1}{t+1}$

$\displaystyle \frac{1}{{x}^{2}} = t + 1$

$\displaystyle \therefore t = \frac{1}{{x}^{2}} - 1$

Ahora, de la ecuación $y$

$\displaystyle y = \frac{t}{t + 1}$

Se reemplaza $\displaystyle t = \frac{1}{x^2} - 1$ en esta ecuación.

$\displaystyle y = \frac{t}{t + 1} = \frac{\frac{1}{{x}^{2}} - 1}{\frac{1}{x^2} - 1 + 1}$

$\displaystyle y = \frac{\frac{1 - x^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}$

$\displaystyle y = \frac{x^2 (1 - x^2)}{(1) x^2}$

$\displaystyle \therefore y = 1 - x^2$

Con esta expresión final, se tiene la siguientes gráfica.

Problema 2. Emplear trigonometría para eliminar el parámetro θ:

$x = 3\cos{\theta} \quad y \quad y = 4\sin{\theta} \quad , \quad 0 \le \theta \le 2\pi$

Solución. En la ecuación $x$ se despeja $\cos{\theta}$ .

$x = 3 \cos{\theta}$

$\displaystyle \frac{x}{3} = \cos{\theta}$

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{x}{3}$

Y en la ecuación $y$ se despeja $\sin{\theta}$ .

$y = 4 \sin{\theta}$

$\displaystyle \frac{y}{4} = \sin{\theta}$

$\displaystyle \sin{\theta} = \frac{y}{4}$

Utilizando la identidad trigonométrica

${\sin}^{2}{\theta} + {\cos}^{2}{\theta} = 1$

Se sustituye los despejes obtenidos anteriormente.

$\displaystyle \left(\frac{y}{4} \right)^2 + \left(\frac{x}{3}\right)^2 = 1$

$\displaystyle \left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = 1$

Entonces

$\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$

Al eliminar el parámetro (por medio de la sustitución) se obtuvo la ecuación de una elipse con centro en el origen (figura 3).

Vectorial ITC

jueves, 14 de octubre de 2021

UNIDAD 2. Curvas planas

Curva plana

Curva suave

Trazado de una curva

Eliminación de un parámetro

Problema resuelto: Eliminando un parámetro

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Unidad 2. Tangente horizontal y vertical de coordenadas polares.

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