UNIDAD 2: Coordenadas Polares

 Coordenadas Polares.

    Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría. En  manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia.

    Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

          En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de             coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y         el ángulo  del vector de posición sobre el eje x.

    Conversión de coordenadas polares a rectangulares
        Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo ${\displaystyle \theta }$ sobre el eje x, y su distancia r al centro de                 coordenadas, se tiene:

     

    Conversión de coordenadas rectangulares a polares
        Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada             polar r es:
      (aplicando el Teorema de Pitágoras)

     Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para ${\displaystyle r}$ = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
Para ${\displaystyle r}$ ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
     Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (${\displaystyle \arctan }$ denota la inversa       de la función tangente):
      

      Para obtener ${\displaystyle \theta }$ en el intervalo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$, se considera que ${\displaystyle \arctan {\bigg (}{\frac {y}{x}}{\bigg )}\in {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}}$ es una                 función creciente en su dominio:
    

    Circunferencia
            La ecuación general para una circunferencia con centro en (${\displaystyle r}$0, φ) y radio ${\displaystyle a}$ es
${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,}$   

            En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una                 circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:
${\displaystyle r(\theta )=a\,}$    


       Línea
                Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación
${\displaystyle \theta =\varphi \,}$    
               donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan ${\displaystyle m}$ donde ${\displaystyle m}$ es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto (${\displaystyle r}$0, φ) tiene la ecuación
${\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,}$    

      Rosa polar
                    La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede                   expresarse como una ecuación polar simple,
${\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,}$     
                   para cualquier constante ${\displaystyle \phi _{0}}$ (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones                    representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero             no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con los pétalos solapados. Nótese que estas                        ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc., pétalos. La variable a representa la                    longitud de los pétalos de la rosa.
                   Si tomamos solo valores positivos para r y valores en el intervalo ${\displaystyle [0,2\pi )\,}$ para ${\displaystyle \theta \,}$, la gráfica de             la ecuación:
${\displaystyle r(\theta )=\left|a\sin \left({\frac {k}{2}}\theta +\phi _{0}\right)\right|\,}$      
                    es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural ${\displaystyle k\,}$. Y si ${\displaystyle k=0\,}$, la gráfica es una                   circunferencia de radio ${\displaystyle r=|a\sin(\phi _{0})|\,}$



         Espiral de Arquímedes

                    La espiral de Arquímedes es una famosa espiral descubierta por Arquímedes, la cual puede                 expresarse también como una ecuación polar simple. Se representa con la ecuación
${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .}$        
                    Un cambio en el parámetro a producirá un giro en la espiral, mientras que b controla la                         distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están conectados en el polo.                        La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva fue                 una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas, en ser descritas en tratados                         matemáticos. Además es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma más                 fácil con una ecuación polar.
                    Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica y la espiral de Fermat.



           Secciones cónicas
                        Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de                 modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:
${\displaystyle r={\ell \over {1+e\cos \theta }}}$            
                        donde e es la excentricidad y ${\displaystyle \ell }$ es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco                     desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define                         una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un                     círculo de radio ${\displaystyle \ell }$.