UNIDAD 2. Derivacion parametrica.

Una derivada de una función en forma paramétrica es una derivada en cálculo que se toma cuando ambas variables x e y (independiente y dependiente) dependen de una tercera variable independiente t, usualmente tomada como tiempo.

Formulas

Primera derivada

Sean ${\displaystyle x(t)\,}$ e ${\displaystyle y(t)\,}$ las coordenadas de los puntos de una curva expresada como una función de variable t. La primera derivada de las ecuaciones parametricas descritas arriba es dada por:

${\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {y'(t)}{x'(t)}},}$

donde la notación ${\displaystyle x'(t)\,}$ indica la derivada de x con respecto de t. Para entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recuérdese la regla de la cadena para derivadas:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}\,}$

o en otras palabras

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.}$

Formalmente, mediante la regla de la cadena:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$

y dividiendo ambos miembros por ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ se obtiene la ecuación de arriba.

Segunda derivada.

La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {y'}{x'}}\right){\frac {1}{x'}}}$
	${\displaystyle ={\frac {x'y''-y'x''}{x'^{3}}}}$

mediante el uso de la regla del cociente para derivadas. El último resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.

Teorema

Sean  funciones derivables en un intervalo . Supongamos que  tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde , las ecuaciones  implican que existe una función derivable  tal que , y además 

Ejemplos

1. Determine 
   Solución:
   

   Por el teorema anterior se tiene que 
   

   Luego:
   

    por lo que 

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones  en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.
   

   Solución:
   

   Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por .
   Como  entonces 
   

   La pendiente de la recta tangente es cero cuando , en este caso cuando ; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de . Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.

3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones  cuando 
   

   Solución:
   

   La ecuación de la recta tangente está dada por , donde .
   

   Se tiene que 
   

   Cuando , por lo que 
   

   Cuando  se obtiene , y al sustituir en  se obtiene: .
   

   Luego, la ecuación de la recta tangente es: