Vectorial ITC : UNIDAD 2. Eliminación del parámetro

Eliminar del parámetro

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro m:

Primero de todo, hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

Ahora resolvemos el determinante de A mediante la regla de Sarrus, para ver de qué rango es la matriz:

De manera que el resultado del determinante de A depende del valor de m. Por tanto, vamos a ver por qué valores de m se anula el determinante. Para ello, igualamos el resultado a 0:

Y resolvemos la ecuación de segundo grado con la fórmula:

Por lo tanto, cuando m valga 2 o 3, el determinante de A será 0. Y cuando m sea diferente de 2 y diferente de 3, el determinante de A será distinto de 0.

Así que debemos analizar cada caso por separado:

m≠3 y m≠2:

Como acabamos de ver, cuando el parámetro $m$ es diferente de 2 y de 3, el determinante de la matriz A es distinto de 0. Por tanto, el rango de A es 3.

Además, el rango de la matriz A’ es 3 también, porque en su interior hay una submatriz 3×3 cuyo determinante es diferente de 0. Y no puede ser de rango 4 ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4.

Entonces, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ y al número de incógnitas del sistema (3), por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):

Una vez sabemos que el sistema es un Sistema Compatible Determinado (SCD), aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

Para calcular X con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de la matriz A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

Para calcular Z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones para el caso m≠3 y m≠2 es:

Como puedes ver, en este caso la solución del sistema de ecuaciones está en función de $\displaystyle m .$

Una vez hemos hallado la solución cuando $\displaystyle m$ es distinta de 2 y de 3, vamos a resolver el sistema para cuando m es 2:

m=2:

Ahora vamos a analizar el sistema cuando el parámetro m es 2. En este caso las matrices A y A’ son:

Como hemos visto antes, cuando m=2 el determinante de A es 0. Por lo que la matriz A no es de rango 3. Pero dentro tiene determinantes 2×2 diferentes de 0, por ejemplo:

Por tanto, en este caso el rango de A es 2:

Como es un SCI, tenemos que transformar el sistema para resolverlo. Para ello, primero debemos eliminar una ecuación del sistema, en este caso quitaremos la última ecuación:

Ahora convertimos la variable z en λ:

Y ponemos los términos con λ junto con los términos independientes

Por tanto, la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Para ello, primero resolvemos el determinante de A:

Para calcular X con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

Para calcular Y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A.

De modo que cuando m=2 la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y por tanto tiene infinitas soluciones:

Cuando m=3 el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’. Así que, a partir del teorema de Rouché-Frobenius, deducimos que el sistema es un Sistema Incompatible (SI):